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    <title>深度学习——Deep Learning | J Sir</title>
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                <p>本文基于<a target="_blank" rel="noopener" href="https://github.com/Sakura-gh">Sakura-gh</a>大佬的机器学习笔记修改，仅作为学习资料备用，如有侵权，联系作者。</p>
<span id="more"></span>
<h1 id="Deep-Learning"><a href="#Deep-Learning" class="headerlink" title="Deep Learning"></a>Deep Learning</h1><h4 id="Ups-and-downs-of-Deep-Learning"><a href="#Ups-and-downs-of-Deep-Learning" class="headerlink" title="Ups and downs of Deep Learning"></a>Ups and downs of Deep Learning</h4><ul>
<li>1958：Perceptron(linear model)，感知机的提出<ul>
<li>和Logistic Regression类似，只是少了sigmoid的部分</li>
</ul>
</li>
<li>1969：Perceptron has limitation，from MIT</li>
<li>1980s：Multi-layer Perceptron，多层感知机<ul>
<li>和今天的DNN很像</li>
</ul>
</li>
<li>1986：Backpropagation，反向传播<ul>
<li>Hinton propose的Backpropagation</li>
<li>存在problem：通常超过3个layer的neural network，就train不出好的结果</li>
</ul>
</li>
<li>1989: 1 hidden layer is “good enough”，why deep？<ul>
<li>有人提出一个理论：只要neural network有一个hidden layer，它就可以model出任何的function，所以根本没有必要叠加很多个hidden layer，所以Multi-layer Perceptron的方法又坏掉了，这段时间Multi-layer Perceptron这个东西是受到抵制的</li>
</ul>
</li>
<li>2006：RBM initialization(breakthrough)：Restricted Boltzmann Machine，受限玻尔兹曼机<ul>
<li>Deep learning -&gt; another Multi-layer Perceptron ？在当时看来，它们的不同之处在于在做gradient descent的时候选取初始值的方法如果是用RBM，那就是Deep learning；如果没有用RBM，就是传统的Multi-layer Perceptron</li>
<li>那实际上呢，RBM用的不是neural network base的方法，而是graphical model，后来大家试验得多了发现RBM并没有什么太大的帮助，因此现在基本上没有人使用RBM做initialization了</li>
<li>RBM最大的贡献是，它让大家重新对Deep learning这个model有了兴趣(石头汤的故事)</li>
</ul>
</li>
<li>2009：GPU加速的发现</li>
<li>2011：start to be popular in speech recognition，语音识别领域</li>
<li>2012：win ILSVRC image competition，Deep learning开始在图像领域流行开来</li>
</ul>
<p>实际上，Deep learning跟machine learning一样，也是“大象放进冰箱”的三个步骤：</p>
<p>在Deep learning的step1里define的那个function，就是neural network</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/three-step-dl.png" width="50%;"></center>

<h4 id="Neural-Network"><a href="#Neural-Network" class="headerlink" title="Neural Network"></a>Neural Network</h4><h5 id="concept"><a href="#concept" class="headerlink" title="concept"></a>concept</h5><p>把多个Logistic Regression前后connect在一起，然后把一个Logistic Regression称之为neuron，整个称之为neural network</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/neural-network.png" width="50%;"></center>

<p>我们可以用不同的方法连接这些neuron，就可以得到不同的structure，neural network里的每一个Logistic Regression都有自己的weight和bias，这些weight和bias集合起来，就是这个network的parameter，我们用$\theta$来描述</p>
<h5 id="Fully-Connect-Feedforward-Network"><a href="#Fully-Connect-Feedforward-Network" class="headerlink" title="Fully Connect Feedforward Network"></a>Fully Connect Feedforward Network</h5><p>那该怎么把它们连接起来呢？这是需要你手动去设计的，最常见的连接方式叫做<strong>Fully Connect Feedforward Network(全连接前馈网络)</strong></p>
<p>如果一个neural network的参数weight和bias已知的话，它就是一个function，它的input是一个vector，output是另一个vector，这个vector里面放的是样本点的feature，vector的dimension就是feature的个数</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/fully-connect-feedback-network.png" width="65%;"></center>

<p>如果今天我们还不知道参数，只是定出了这个network的structure，只是决定好这些neuron该怎么连接在一起，这样的一个network structure其实是define了一个function set(model)，我们给这个network设不同的参数，它就变成了不同的function，把这些可能的function集合起来，我们就得到了一个function set</p>
<p>只不过我们用neural network决定function set的时候，这个function set是比较大的，它包含了很多原来你做Logistic Regression、做linear Regression所没有办法包含的function</p>
<p>下图中，每一排表示一个layer，每个layer里面的每一个球都代表一个neuron</p>
<ul>
<li>layer和layer之间neuron是两两互相连接的，layer 1的neuron output会连接给layer 2的每一个neuron作为input</li>
<li>对整个neural network来说，它需要一个input，这个input就是一个feature的vector，而对layer 1的每一个neuron来说，它的input就是input layer的每一个dimension</li>
<li>最后那个layer L，由于它后面没有接其它东西了，所以它的output就是整个network的output</li>
<li>这里每一个layer都是有名字的<ul>
<li>input的地方，叫做<strong>input layer</strong>，输入层(严格来说input layer其实不是一个layer，它跟其他layer不一样，不是由neuron所组成的)</li>
<li>output的地方，叫做<strong>output layer</strong>，输出层</li>
<li>其余的地方，叫做<strong>hidden layer</strong>，隐藏层</li>
</ul>
</li>
<li>每一个neuron里面的sigmoid function，在Deep Learning中被称为<strong>activation function</strong>(激励函数)，事实上它不见得一定是sigmoid function，还可以是其他function(sigmoid function是从Logistic Regression迁移过来的，现在已经较少在Deep learning里使用了)</li>
<li>有很多层layers的neural network，被称为<strong>DNN(Deep Neural Network)</strong></li>
</ul>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/layers.png" width="50%;"></center>

<p><strong>因为layer和layer之间，所有的neuron都是两两连接，所以它叫Fully connected的network；因为现在传递的方向是从layer 1-&gt;2-&gt;3，由后往前传，所以它叫做Feedforward network</strong></p>
<p>那所谓的deep，是什么意思呢？有很多层hidden layer，就叫做deep，具体的层数并没有规定，现在只要是neural network base的方法，都被称为Deep Learning，下图是一些model使用的hidden layers层数举例</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/many-hidden-layers.png" width="50%;"></center>

<p>你会发现使用了152个hidden layers的Residual Net，它识别图像的准确率比人类还要高当然它不是使用一般的Fully Connected Feedforward Network，它需要设计特殊的special structure才能训练这么深的network</p>
<h5 id="Matrix-Operation"><a href="#Matrix-Operation" class="headerlink" title="Matrix Operation"></a>Matrix Operation</h5><p>network的运作过程，我们通常会用Matrix Operation来表示，以下图为例，假设第一层hidden layers的两个neuron，它们的weight分别是$w_1=1,w_2=-2,w_1’=-1,w_2’=1$，那就可以把它们排成一个matrix：$\begin{bmatrix}1 \ \ \ -2\\ -1 \ \ \ 1 \end{bmatrix}$，而我们的input又是一个2*1的vector：$\begin{bmatrix}1\-1 \end{bmatrix}$，将w和x相乘，再加上bias的vector：$\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}$，就可以得到这一层的vector z，再经过activation function得到这一层的output：(activation function可以是很多类型的function，这里还是用Logistic Regression迁移过来的sigmoid function作为运算)</p>
<script type="math/tex; mode=display">
\sigma(\begin{bmatrix}1 \ \ \ -2\\ -1 \ \ \ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\-1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix})=\sigma(\begin{bmatrix}4\\-2 \end{bmatrix})=\begin{bmatrix}0.98\\0.12 \end{bmatrix}</script><center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/matrix-operation.png" width="50%;"></center>

<p>这里我们把所有的变量都以matrix的形式表示出来，注意$W^i$的matrix，每一行对应的是一个neuron的weight，行数就是neuron的个数，而input x，bias b和output y都是一个列向量，行数就是feature的个数(也是neuron的个数，neuron的本质就是把feature transform到另一个space)</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/neural-network-compute.png" width="50%;"></center>

<p>把这件事情写成矩阵运算的好处是，可以用GPU加速，GPU对matrix的运算是比CPU要来的快的，所以我们写neural network的时候，习惯把它写成matrix operation，然后call GPU来加速它</p>
<h5 id="Output-Layer"><a href="#Output-Layer" class="headerlink" title="Output Layer"></a>Output Layer</h5><p>我们可以把hidden layers这部分，看做是一个<strong>feature extractor(特征提取器)</strong>，这个feature extractor就replace了我们之前手动做feature engineering，feature transformation这些事情，经过这个feature extractor得到的$x_1,x_2,…,x_k$就可以被当作一组新的feature</p>
<p>output layer做的事情，其实就是把它当做一个<strong>Multi-class classifier</strong>，它是拿经过feature extractor转换后的那一组比较好的feature(能够被很好地separate)进行分类的，由于我们把output layer看做是一个Multi-class classifier，所以我们会在最后一个layer加上<strong>softmax</strong></p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/output-layer.png" width="50%;"></center>

<h4 id="Example-Application"><a href="#Example-Application" class="headerlink" title="Example Application"></a>Example Application</h4><h5 id="Handwriting-Digit-Recognition"><a href="#Handwriting-Digit-Recognition" class="headerlink" title="Handwriting Digit Recognition"></a>Handwriting Digit Recognition</h5><p>这里举一个手写数字识别的例子，input是一张image，对机器来说一张image实际上就是一个vector，假设这是一张16*16的image，那它有256个pixel，对machine来说，它是一个256维的vector，image中的每一个都对应到vector中的一个dimension，简单来说，我们把黑色的pixel的值设为1，白色的pixel的值设为0</p>
<p>而neural network的output，如果在output layer使用了softmax，那它的output就是一个突出极大值的Probability distribution，假设我们的output是10维的话(10个数字，0~9)，这个output的每一维都对应到它可能是某一个数字的几率，实际上这个neural network的作用就是计算这张image成为10个数字的几率各自有多少，几率最大(softmax突出极大值的意义所在)的那个数字，就是机器的预测值</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/example-application.png" width="50%;"></center>

<p>在这个手写字体识别的demo里，我们唯一需要的就是一个function，这个function的input是一个256的vector，output是一个10维的vector，这个function就是neural network(这里我们用简单的Feedforward network)</p>
<p>input固定为256维，output固定为10维的feedforward neural network，实际上这个network structure就已经确定了一个function set(model)的形状，在这个function set里的每一个function都可以拿来做手写数字识别，接下来我们要做的事情是用gradient descent去计算出一组参数，挑一个最适合拿来做手写数字识别的function</p>
<p>==<strong>注：input、output的dimension，加上network structure，就可以确定一个model的形状，前两个是容易知道的，而决定这个network的structure则是整个Deep Learning中最为关键的步骤</strong>==</p>
<p>所以这里很重要的一件事情是，我们要对network structure进行design，之前在做Logistic Regression或者是linear Regression的时候，我们对model的structure是没有什么好设计的，但是对neural network来说，我们现在已知的constraint只有input是256维，output是10维，而中间要有几个hidden layer，每个layer要有几个neuron，都是需要我们自己去设计的，它们近乎是决定了function set长什么样子</p>
<p>如果你的network structure设计的很差，这个function set里面根本就没有好的function，那就会像大海捞针一样，结果针并不在海里(滑稽</p>
<h5 id="Step-1：Neural-Network"><a href="#Step-1：Neural-Network" class="headerlink" title="Step 1：Neural Network"></a>Step 1：Neural Network</h5><pre class="line-numbers language-mermaid" data-language="mermaid"><code class="language-mermaid">graph LR
A(input)
A--&gt; |256 dimension|B[network structure]
B--&gt; |10 dimension|C(output)<span aria-hidden="true" class="line-numbers-rows"><span></span><span></span><span></span><span></span></span></code></pre>
<p>input 256维，output 10维，以及自己design的network structure =》function set(model)</p>
<h5 id="Step-2：Goodness-of-function"><a href="#Step-2：Goodness-of-function" class="headerlink" title="Step 2：Goodness of function"></a>Step 2：Goodness of function</h5><p>定义一个function的好坏，由于现在我们做的是一个Multi-class classification，所以image为数字1的label “1”告诉我们，现在的target是一个10维的vector，只有在第一维对应数字1的地方，它的值是1，其他都是0</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/loss-for-example.png" width="50%;"></center>

<p>input这张image的256个pixel，通过这个neural network之后，会得到一个output，称之为y；而从这张image的label中转化而来的target，称之为$\hat{y}$，有了output $y$和target $\hat{y}$之后，要做的事情是计算它们之间的cross entropy(交叉熵)，这个做法跟我们之前做Multi-class classification的时候是一模一样的</p>
<script type="math/tex; mode=display">
Cross \ Entropy :l(y,\hat{y})=-\sum\limits_{i=1}^{10}\hat{y}_i lny_i</script><h5 id="Step-3：Pick-the-best-function"><a href="#Step-3：Pick-the-best-function" class="headerlink" title="Step 3：Pick the best function"></a>Step 3：Pick the best function</h5><p>接下来就去调整参数，让这个cross entropy越小越好，当然整个training data里面不会只有一笔data，你需要把所有data的cross entropy都sum起来，得到一个total loss $L=\sum\limits_{n=1}^Nl^n$，得到loss function之后你要做的事情是找一组network的parameters：$\theta^*$，它可以minimize这个total loss，这组parameter对应的function就是我们最终训练好的model</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/total-loss.png" width="50%;"></center>

<p>那怎么去找这个使total loss minimize的$\theta^<em>$呢？使用的方法就是我们的老朋友——<em>*Gradient Descent</em></em></p>
<p>实际上在deep learning里面用gradient descent，跟在linear regression里面使用完全没有什么差别，只是function和parameter变得更复杂了而已，其他事情都是一模一样的</p>
<p>现在你的$\theta$里面是一大堆的weight、bias参数，先random找一个初始值，接下来去计算每一个参数对total loss的偏微分，把这些偏微分全部集合起来，就叫做gradient，有了这些偏微分以后，你就可以更新所有的参数，都减掉learning rate乘上偏微分的值，这个process反复进行下去，最终找到一组好的参数，就做完deep learning的training了</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/dl-gradient.png" width="60%;"></center>

<h5 id="toolkit"><a href="#toolkit" class="headerlink" title="toolkit"></a>toolkit</h5><p>你可能会问，这个gradient descent的function式子到底是长什么样子呢？之前我们都是一步一步地把那个算式推导出来的，但是在neural network里面，有成百上千个参数，如果要一步一步地人工推导并求微分的话是比较困难的，甚至是不可行的</p>
<p>其实，在现在这个时代，我们不需要像以前一样自己去implement Backpropagation(反向传播)，因为有太多太多的toolkit可以帮你计算Backpropagation，比如<strong>tensorflow、pytorch</strong></p>
<p>注：Backpropagation就是算微分的一个比较有效的方式</p>
<h5 id="something-else"><a href="#something-else" class="headerlink" title="something else"></a>something else</h5><p>所以，其实deep learning就是这样子了，就算是alpha go，也是用gradient descent train出来的，可能在你的想象中它有多么得高大上，实际上就是在用gradient descent这样朴素的方法</p>
<h5 id="有一些常见的问题："><a href="#有一些常见的问题：" class="headerlink" title="有一些常见的问题："></a>有一些常见的问题：</h5><p>Q：有人可能会问，机器能不能自动地学习network的structure？</p>
<ul>
<li>其实是可以的，基因演算法领域是有很多的technique是可以让machine自动地去找出network structure，只不过这些方法目前没有非常普及</li>
</ul>
<p>Q：我们可不可以自己去design一个新的network structure，比如说可不可以不要Fully connected layers(全连接层)，自己去DIY不同layers的neuron之间的连接？</p>
<ul>
<li>当然可以，一个特殊的接法就是CNN(Convolutional Neural Network)，即卷积神经网络，这个下一章节会介绍</li>
</ul>
<h5 id="Why-Deep？"><a href="#Why-Deep？" class="headerlink" title="Why Deep？"></a>Why Deep？</h5><p>最后还有一个问题，为什么我们要deep learning？一个很直觉的答案是，越deep，performance就越好，一般来说，随着deep learning中的layers数量增加，error率不断降低</p>
<p>但是，稍微有一点machine learning常识的人都不会觉得太surprise，因为本来model的parameter越多，它cover的function set就越大，它的bias就越小，如果今天你有足够多的training data去控制它的variance，一个比较复杂、参数比较多的model，它performance比较好，是很正常的，那变deep有什么特别了不起的地方？</p>
<p>甚至有一个理论是这样说的，任何连续的function，它input是一个N维的vector，output是一个M维的vector，它都可以用一个hidden layer的neural network来表示，只要你这个hidden layer的neuron够多，它可以表示成任何的function，既然一个hidden layer的neural network可以表示成任何的function，而我们在做machine learning的时候，需要的东西就只是一个function而已，那做deep有什么特殊的意义呢？</p>
<center><img src="https://gitee.com/Sakura-gh/ML-notes/raw/master/img/universality-theorem.png" width="50%;"></center>

<p>所以有人说，deep learning就只是一个噱头而已，因为做deep感觉比较潮，如果你只是增加neuron把它变宽，变成fat neural network，那就感觉太“虚弱”了，所以我们要做deep learning，给它增加layers而不是增加neuron：DNN(deep) is better than FNN(fat)</p>
<p>真的是这样吗？后面的章节会解释这件事情</p>
<h4 id="Design-network-structure-V-s-Feature-Engineering"><a href="#Design-network-structure-V-s-Feature-Engineering" class="headerlink" title="Design network structure V.s. Feature Engineering"></a>Design network structure V.s. Feature Engineering</h4><blockquote>
<p>下面聊一些经验之谈</p>
</blockquote>
<p>其实network structure的design是一件蛮难的事情，我们到底要怎么决定layer的数目和每一个layer的neuron的数目呢？其实这个只能够凭着经验和直觉、多方面的尝试，有时候甚至会需要一些domain knowledge(专业领域的知识)，从非deep learning的方法到deep learning的方法，并不是说machine learning比较简单，而是我们把一个问题转化成了另一个问题</p>
<p>本来不是deep learning的model，要得到一个好的结果，往往需要做feature engineering(特征工程)，也就是做feature transform，然后找一组好的feature；一开始学习deep learning的时候，好像会觉得deep learning的layers之间也是在做feature transform，但实际上在做deep learning的时候，往往不需要一个好的feature ，比如说在做影像辨识的时候，你可以把所有的pixel直接丢进去，但是在过去做图像识别，你是需要对图像抽取出一些人定的feature出来的，这件事情就是feature transform，但是有了deep learning之后，你完全可以直接丢pixel进去硬做</p>
<p>但是，今天deep learning制造了一个新的问题，它所制造的问题就是，你需要去design network的structure，所以==<strong>你的问题从本来的如何抽取feature转化成怎么design network structure</strong>==，所以deep learning是不是真的好用，取决于你觉得哪一个问题比较容易</p>
<p>如果是影响辨识或者是语音辨识的话，design network structure可能比feature engineering要来的容易，因为，虽然我们人都会看、会听，但是这件事情，它太过潜意识了，它离我们意识的层次太远，我们无法意识到，我们到底是怎么做语音辨识这件事情，所以对人来说，你要抽一组好的feature，让机器可以很方便地用linear的方法做语音辨识，其实是很难的，因为人根本就不知道好的feature到底长什么样子；所以还不如design一个network structure，或者是尝试各种network structure，让machine自己去找出好的feature，这件事情反而变得比较容易，对影像来说也是一样的</p>
<p>有这么一个说法：deep learning在NLP上面的performance并没有那么好。语音辨识和影像辨识这两个领域是最早开始用deep learning的，一用下去进步量就非常地惊人，比如错误率一下子就降低了20%这样，但是在NLP上，它的进步量似乎并没有那么惊人，甚至有很多做NLP的人，现在认为说deep learning不见得那么work，这个原因可能是，人在做NLP这件事情的时候，由于人在文字处理上是比较强的，比如叫你设计一个rule去detect一篇document是正面的情绪还是负面的情绪，你完全可以列表，列出一些正面情绪和负面情绪的词汇，然后看这个document里面正面情绪的词汇出现的百分比是多少，你可能就可以得到一个不错的结果。所以NLP这个task，对人来说是比较容易设计rule的，你设计的那些ad-hoc(特别的)的rule，往往可以得到一个还不错的结果，这就是为什么deep learning相较于NLP传统的方法，觉得没有像其他领域一样进步得那么显著(但还是有一些进步的)</p>
<p>长久而言，可能文字处理中会有一些隐藏的资讯是人自己也不知道的，所以让机器自己去学这件事情，还是可以占到一些优势，只是眼下它跟传统方法的差异看起来并没有那么的惊人，但还是有进步的</p>

                
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    </div>
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    $(function () {
        $('.tabs').tabs();
    });
</script>

            
        </div>
    </div>

    

    

    

    

    

    

    

    

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                <a href="/2022/10/11/shen-du-xue-xi-backpropagation/">
                    <div class="card-image">
                        
                        
                        <img src="/medias/featureimages/6.jpg" class="responsive-img" alt="深度学习——Backpropagation">
                        
                        <span class="card-title">深度学习——Backpropagation</span>
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                    <div class="summary block-with-text">
                        
                            本文基于Sakura-gh大佬的机器学习笔记修改，仅作为学习资料备用，如有侵权，联系作者。
                        
                    </div>
                    <div class="publish-info">
                        <span class="publish-date">
                            <i class="far fa-clock fa-fw icon-date"></i>2022-10-11
                        </span>
                        <span class="publish-author">
                            
                            <i class="fas fa-user fa-fw"></i>
                            J Sir
                            
                        </span>
                    </div>
                </div>
                
                <div class="card-action article-tags">
                    
                    <a href="/tags/%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E5%AD%A6%E4%B9%A0/">
                        <span class="chip bg-color">深度学习</span>
                    </a>
                    
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        <div class="article col s12 m6" data-aos="fade-up">
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            </div>
            <div class="card">
                <a href="/2022/09/29/ji-qi-xue-xi-logistic-regression/">
                    <div class="card-image">
                        
                        
                        <img src="/medias/featureimages/9.jpg" class="responsive-img" alt="机器学习——Logistic Regression">
                        
                        <span class="card-title">机器学习——Logistic Regression</span>
                    </div>
                </a>
                <div class="card-content article-content">
                    <div class="summary block-with-text">
                        
                            本文基于Sakura-gh大佬的机器学习笔记修改，仅作为学习资料备用，如有侵权，联系作者。
                        
                    </div>
                    <div class="publish-info">
                            <span class="publish-date">
                                <i class="far fa-clock fa-fw icon-date"></i>2022-09-29
                            </span>
                        <span class="publish-author">
                            
                            <i class="fas fa-user fa-fw"></i>
                            J Sir
                            
                        </span>
                    </div>
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                <div class="card-action article-tags">
                    
                    <a href="/tags/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/">
                        <span class="chip bg-color">机器学习</span>
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        </div>
        
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</article>

</div>



<!-- 代码块功能依赖 -->
<script type="text/javascript" src="/libs/codeBlock/codeBlockFuction.js"></script>

<!-- 代码语言 -->

<script type="text/javascript" src="/libs/codeBlock/codeLang.js"></script>


<!-- 代码块复制 -->

<script type="text/javascript" src="/libs/codeBlock/codeCopy.js"></script>


<!-- 代码块收缩 -->

<script type="text/javascript" src="/libs/codeBlock/codeShrink.js"></script>


    </div>
    <div id="toc-aside" class="expanded col l3 hide-on-med-and-down">
        <div class="toc-widget card" style="background-color: white;">
            <div class="toc-title"><i class="far fa-list-alt"></i>&nbsp;&nbsp;目录</div>
            <div id="toc-content"></div>
        </div>
    </div>
</div>

<!-- TOC 悬浮按钮. -->

<div id="floating-toc-btn" class="hide-on-med-and-down">
    <a class="btn-floating btn-large bg-color">
        <i class="fas fa-list-ul"></i>
    </a>
</div>


<script src="/libs/tocbot/tocbot.min.js"></script>
<script>
    $(function () {
        tocbot.init({
            tocSelector: '#toc-content',
            contentSelector: '#articleContent',
            headingsOffset: -($(window).height() * 0.4 - 45),
            collapseDepth: Number('0'),
            headingSelector: 'h1, h2, h3, h4, h5'
        });

        // modify the toc link href to support Chinese.
        let i = 0;
        let tocHeading = 'toc-heading-';
        $('#toc-content a').each(function () {
            $(this).attr('href', '#' + tocHeading + (++i));
        });

        // modify the heading title id to support Chinese.
        i = 0;
        $('#articleContent').children('h1, h2, h3, h4, h5').each(function () {
            $(this).attr('id', tocHeading + (++i));
        });

        // Set scroll toc fixed.
        let tocHeight = parseInt($(window).height() * 0.4 - 64);
        let $tocWidget = $('.toc-widget');
        $(window).scroll(function () {
            let scroll = $(window).scrollTop();
            /* add post toc fixed. */
            if (scroll > tocHeight) {
                $tocWidget.addClass('toc-fixed');
            } else {
                $tocWidget.removeClass('toc-fixed');
            }
        });

        
        /* 修复文章卡片 div 的宽度. */
        let fixPostCardWidth = function (srcId, targetId) {
            let srcDiv = $('#' + srcId);
            if (srcDiv.length === 0) {
                return;
            }

            let w = srcDiv.width();
            if (w >= 450) {
                w = w + 21;
            } else if (w >= 350 && w < 450) {
                w = w + 18;
            } else if (w >= 300 && w < 350) {
                w = w + 16;
            } else {
                w = w + 14;
            }
            $('#' + targetId).width(w);
        };

        // 切换TOC目录展开收缩的相关操作.
        const expandedClass = 'expanded';
        let $tocAside = $('#toc-aside');
        let $mainContent = $('#main-content');
        $('#floating-toc-btn .btn-floating').click(function () {
            if ($tocAside.hasClass(expandedClass)) {
                $tocAside.removeClass(expandedClass).hide();
                $mainContent.removeClass('l9');
            } else {
                $tocAside.addClass(expandedClass).show();
                $mainContent.addClass('l9');
            }
            fixPostCardWidth('artDetail', 'prenext-posts');
        });
        
    });
</script>

    

</main>


<script src="https://cdn.bootcss.com/mathjax/2.7.5/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script>
<script>
    MathJax.Hub.Config({
        tex2jax: {inlineMath: [['$', '$'], ['\(', '\)']]}
    });
</script>



    <footer class="page-footer bg-color">
    
        <link rel="stylesheet" href="/libs/aplayer/APlayer.min.css">
<style>
    .aplayer .aplayer-lrc p {
        
        display: none;
        
        font-size: 12px;
        font-weight: 700;
        line-height: 16px !important;
    }

    .aplayer .aplayer-lrc p.aplayer-lrc-current {
        
        display: none;
        
        font-size: 15px;
        color: #42b983;
    }

    
    .aplayer.aplayer-fixed.aplayer-narrow .aplayer-body {
        left: -66px !important;
    }

    .aplayer.aplayer-fixed.aplayer-narrow .aplayer-body:hover {
        left: 0px !important;
    }

    
</style>
<div class="">
    
    <div class="row">
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                   server="netease"
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                   loop='all'
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</div>

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    <div class="container row center-align" style="margin-bottom: 0px !important;">
        <div class="col s12 m8 l8 copy-right">
            Copyright&nbsp;&copy;
            
                <span id="year">2020-2023</span>
            
            <span id="year">2020</span>
            <a href="/about" target="_blank">J Sir</a>
            |&nbsp;Powered by&nbsp;<a href="https://hexo.io/" target="_blank">Hexo</a>
            |&nbsp;Theme&nbsp;<a href="https://github.com/blinkfox/hexo-theme-matery" target="_blank">Matery</a>
            <br>
            
            &nbsp;<i class="fas fa-chart-area"></i>&nbsp;站点总字数:&nbsp;<span
                class="white-color">300.9k</span>&nbsp;字
            
            
            
            
            
            
            <span id="busuanzi_container_site_pv">
                |&nbsp;<i class="far fa-eye"></i>&nbsp;总访问量:&nbsp;<span id="busuanzi_value_site_pv"
                    class="white-color"></span>&nbsp;次
            </span>
            
            
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                |&nbsp;<i class="fas fa-users"></i>&nbsp;总访问人数:&nbsp;<span id="busuanzi_value_site_uv"
                    class="white-color"></span>&nbsp;人
            </span>
            
            <br>
            
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        </div>
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    <a href="mailto:2065373132@qq.com" class="tooltipped" target="_blank" data-tooltip="邮件联系我" data-position="top" data-delay="50">
        <i class="fas fa-envelope-open"></i>
    </a>







    <a href="tencent://AddContact/?fromId=50&fromSubId=1&subcmd=all&uin=2065373132" class="tooltipped" target="_blank" data-tooltip="QQ联系我: 2065373132" data-position="top" data-delay="50">
        <i class="fab fa-qq"></i>
    </a>







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    </a>

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    </div>
</footer>

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    <!-- 搜索遮罩框 -->
<div id="searchModal" class="modal">
    <div class="modal-content">
        <div class="search-header">
            <span class="title"><i class="fas fa-search"></i>&nbsp;&nbsp;搜索</span>
            <input type="search" id="searchInput" name="s" placeholder="请输入搜索的关键字"
                   class="search-input">
        </div>
        <div id="searchResult"></div>
    </div>
</div>

<script type="text/javascript">
$(function () {
    var searchFunc = function (path, search_id, content_id) {
        'use strict';
        $.ajax({
            url: path,
            dataType: "xml",
            success: function (xmlResponse) {
                // get the contents from search data
                var datas = $("entry", xmlResponse).map(function () {
                    return {
                        title: $("title", this).text(),
                        content: $("content", this).text(),
                        url: $("url", this).text()
                    };
                }).get();
                var $input = document.getElementById(search_id);
                var $resultContent = document.getElementById(content_id);
                $input.addEventListener('input', function () {
                    var str = '<ul class=\"search-result-list\">';
                    var keywords = this.value.trim().toLowerCase().split(/[\s\-]+/);
                    $resultContent.innerHTML = "";
                    if (this.value.trim().length <= 0) {
                        return;
                    }
                    // perform local searching
                    datas.forEach(function (data) {
                        var isMatch = true;
                        var data_title = data.title.trim().toLowerCase();
                        var data_content = data.content.trim().replace(/<[^>]+>/g, "").toLowerCase();
                        var data_url = data.url;
                        data_url = data_url.indexOf('/') === 0 ? data.url : '/' + data_url;
                        var index_title = -1;
                        var index_content = -1;
                        var first_occur = -1;
                        // only match artiles with not empty titles and contents
                        if (data_title !== '' && data_content !== '') {
                            keywords.forEach(function (keyword, i) {
                                index_title = data_title.indexOf(keyword);
                                index_content = data_content.indexOf(keyword);
                                if (index_title < 0 && index_content < 0) {
                                    isMatch = false;
                                } else {
                                    if (index_content < 0) {
                                        index_content = 0;
                                    }
                                    if (i === 0) {
                                        first_occur = index_content;
                                    }
                                }
                            });
                        }
                        // show search results
                        if (isMatch) {
                            str += "<li><a href='" + data_url + "' class='search-result-title'>" + data_title + "</a>";
                            var content = data.content.trim().replace(/<[^>]+>/g, "");
                            if (first_occur >= 0) {
                                // cut out 100 characters
                                var start = first_occur - 20;
                                var end = first_occur + 80;
                                if (start < 0) {
                                    start = 0;
                                }
                                if (start === 0) {
                                    end = 100;
                                }
                                if (end > content.length) {
                                    end = content.length;
                                }
                                var match_content = content.substr(start, end);
                                // highlight all keywords
                                keywords.forEach(function (keyword) {
                                    var regS = new RegExp(keyword, "gi");
                                    match_content = match_content.replace(regS, "<em class=\"search-keyword\">" + keyword + "</em>");
                                });

                                str += "<p class=\"search-result\">" + match_content + "...</p>"
                            }
                            str += "</li>";
                        }
                    });
                    str += "</ul>";
                    $resultContent.innerHTML = str;
                });
            }
        });
    };

    searchFunc('/search.xml', 'searchInput', 'searchResult');
});
</script>

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</div>


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